By Pfeffer, Riemannian

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Ax = b erfüllt. 0 Eine weitere Folgerung aus dem Satz von Tucker ist das nachstehende Korollar 5. Es sei A eine reelle antisymmetrische n x n Matrix (d. h. A erfülle AT = -A). Dann besitzt das Ungleichungssystem x+Ax>O immer eine Lösung x 2: 0 in Rn, welche der Nebenbedingung Ax 2: 0 genügt. 31 AUFGABEN Beweis. Es sei I die Identität von Rn. Wird Satz 3 auf die n x 2n Matrix [A TI] angewendet, so existieren Vektoren u, v und y in so, dass Ay::::O, R: sowie Setzt man nun x = u + y, so erhält man x+Ax = u+Ay+y+Au >y+Au = y-ATu =y+v ::::0 und Ax=Au+Ay =v+Ay ::::0.

Offenbar kompakt. Nach Korollar 3 ist damit ° ist extremer Punkt von X, denn aus (t, x, y) E (0, 1) X X 2 und tx + (1- t)y = folgt t y=-I-t X , ° was, da x und y nur nichtnegative Komponenten besitzen, bedingt, dass = y = 0. Ferner sind auch alle Elemente (l/n)e n extreme Punkte von X: Wieder mit (t, x, y) E (0, 1) X X 2 und tx + (1- t)y = (l/n)e n folgt wie vorhin Xk = Yk = 0, n# k = 1, 2, ... ,sowie x tX n + (1- t)yn = l/n. n), kann die letzte Gleichung nur stimmen, falls X n = Yn was zeigt, dass x = y = (l/n)e n .

Die Notwendigkeit von (1) bewiesen. Wir wollen jetzt noch zeigen, dass die Bedingung (1) hinreichend ist. Zu diesem Zweck nehmen wir an, dass ein Element f von E' von der Form (1) sei, mit a in {-I, I} und s in S. In diesem Fall ist offenbar f in U'. Ferner nehmen wir an, dass f=tg+(l-t)h (4) mit tE (0, 1) und g, hEU'. Wir zerlegen den Beweis in die folgenden drei Teile: (i) Ist V eine Umgebung von s in Sund y ein Element von U mit y(V) = {O}, so folgt wegen (1) und (4), dass g(y)=h(y)=O. (ii) Ist y in C(S) so, dass y(s) = 0, so folgt wegen (i), dass g(y) = h(y) = O.

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Approach To Integration by Pfeffer, Riemannian

by Charles

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